Question

已知函数y=asinx+bcosx+c的图象上有一个最低点．
（Ⅰ）如果x=0时，，求a，b，c．
（Ⅱ）如果将图象上每个点的纵坐标不变，横坐标缩小到原来的，然后将所得图象向左平移一个单位得到y=f（x）的图象，并且方程f（x）=3的所有正根依次成为一个公差为3的等差数列，求y=f（x）的解析式．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）利用辅助角公式对函数解析式化简整理，把最低点坐标代入求得φ和a，b和c的关系，表示出函数的解析式，把x=0代入即可求得a，b和c．
（Ⅱ）依据题意可求得变换后函数的解析式，进而可知方程f（x）=3的正根就是直线y=3与y=f（x）的图象交点的横坐标，通过它们成等差数列，判断出直线y=3满足以上要求只能有三个位置：一是过图象最高点且和x轴平行的直线l₁，二是过图象最低点且和x轴平行的直线l₂，三是和l₁、l₂平行且等距的直线l₃，根据最低点排除l₂．假若直线y=3在l₁，交点间隔为一个周期6，即正根的公差为6，不合题意，所以y=3只能在l₃位置，求得c，则函数的解析式求得正根检验后符合题意，函数的解析式可得．
解答：解：（Ⅰ）原函数可化为
（其中φ为辅助角，满足，），
因为是它的最低点，
所以，
解得且．
所以．
又x=0时，，所以c=0，，；
（Ⅱ）因为，
按题给变换后得
方程f（x）=3的正根就是直线y=3与y=f（x）的图象交点的横坐标，
它们成等差数列，即y=3与y=f（x）相邻交点间的距离都相等．
直线y=3满足以上要求只能有三个位置：
一是过图象最高点且和x轴平行的直线l₁，
二是过图象最低点且和x轴平行的直线l₂，
三是和l₁、l₂平行且等距的直线l₃，而图象最低点为，
故不可能是l₂．假若直线y=3在l₁，交点间隔为一个周期6，
即正根的公差为6，不合题意，所以y=3只能在l₃位置，
所以c=3，，此时由得x=3k，
正根可组成一个公差为3的等差数列，符合题意．
∴．
点评：本题主要考查了三角函数的化简求值，等差数列的应用，三角函数的图象变换．考查了学生分析问题的能力和推理能力．