Question

已知向量

a

=(

3

，k)，

b

=（0，-1），

c

=(1，

3

)．
（Ⅰ）若

a

⊥

c

，求k的值；
（Ⅱ）当k=1时，

a

-λ

b

与

c

共线，求λ的值；
（Ⅲ）若|

m

|=

3

|

b

|，且

m

与

c

的夹角为150°，求|

m

+2

c

|

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用向量垂直与数量积的关系即可得出；
（Ⅱ）利用向量共线的充要条件即可得出；
（Ⅲ）利用数量积、向量模的计算公式即可．

解答：解：（Ⅰ）∵

a

⊥

c

，∴

a

•

c

=0，∴

3

+

3

k=0，解得k=-1；
（Ⅱ）∵k=1，∴

a

=(

3

，1)，又

b

=(0，-1)，∴

a

-λ

b

=(

3

，1-λ)．
∵

a

-λ

b

与

c

共线，∴

3

×

3

-(1+λ)=0，解得λ=2；
（Ⅲ）∵|

b

|=

0+(-1)2

=1，∴|

m

|=

3

．
又

m

与

c

的夹角为150°，|

c

|=

1+( 3 )2

=2．
∴

m

•

c

=|

m

| |

c

|cos150°=

3

×2×cos150°=-3，
|

m

+2

c

|=

m 2+4 m • c +4 c 2

=

( 3 )2+4×(-3)+4×22

=

7

．

点评：熟练掌握向量垂直与数量积的关系、向量共线的充要条件、向量模的计算公式是解题的关键．