Question

已知f（x）=ln（1+x）-

1

4

x² 是定义在[0，2]上的函数
（1）求函数f（x）的单调区间
（2）若f（x）≥c对定义域内的x恒成立，求c的取值范围．．

Answer 1

分析：（1）先求导，然后根据二次函数法研究导数大于或小于等于零，从而得到单调性．
（2）根据（1）推导出f（1）为函数f（x）的极大值，f（0）=0，从而判断f（0）=0为函数的最小值，即可得出结果．

解答：解：（1）f'（x）=

1

1+x

- 

1

2

x
令f'（x）=0得，x²+x-2=0 
  解得x₁=-2（舍去），x₂=1
当0≤x＜1时，f'（x）＞0，f（x）单调递增；
当1＜x≤2时，f'（x）＜0，f（x）单调递减．
（2）由上知：f（1）=ln2-

1

4

为函数f（x）的极大值．又因为f（0）=0，f（2）=ln3-1＞0
∴f（1）＞f（2）
所以f（0）=0为函数在[0，2]上的最小值，c≤0

点评：本题主要考查用导数法研究函数的单调性，基本思路是：当函数为增函数时，导数大于等于零；当函数为减函数时，导数小于等于零；对于不等式恒成立问题，只要求出函数的最值的就可以得出结果．属于中档题．