Question

已知f（x）=sin（2x+

π

6

）+sin（2x-

π

6

）+2sin²x+a的最大值为2．
（Ⅰ）求a的值及f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）若x∈[-

π

2

，

π

2

]，求f（x）的单调递增区间．

Answer 1

考点：三角函数的周期性及其求法,两角和与差的正弦函数,正弦函数的单调性

专题：三角函数的求值,三角函数的图像与性质

分析：（Ⅰ）化简解析式可得f（x）=2sin（2x-

π

6

）+1+a，由已知可求得a=-1，可得解析式f（x）=2sin（2x-

π

6

），从而可求最小正周期；
（Ⅱ）由x∈[-

π

2

，

π

2

]，可得2x-

π

6

∈[-

7π

6

，

5π

6

]，从而可求f（x）的单调递增区间．

解答： 解：（Ⅰ）∵f（x）=sin（2x+

π

6

）+sin（2x-

π

6

）+2sin²x+a=

3

sin2x-cos2x+1+a=2sin（2x-

π

6

）+1+a，
∵f（x）=sin（2x+

π

6

）+sin（2x-

π

6

）+2sin²x+a的最大值为2，
∴1+a=0，
∴a=-1，
∴f（x）=sin（2x+

π

6

）+sin（2x-

π

6

）+2sin²x+a=

3

sin2x-cos2x+1+a=2sin（2x-

π

6

），
∴T=

2π

2

=π，
（Ⅱ）∵x∈[-

π

2

，

π

2

]，
∴2x-

π

6

∈[-

7π

6

，

5π

6

]，
∴由正弦函数的和性质可知，当x=-

π

6

时，f（x）_min=2sin（-

π

2

）=-2，当x=

π

3

时，f（x）_max=2sin（

π

2

）=2，
∴f（x）的单调递增区间是[-

π

6

，

π

3

]．

点评：本题主要考察了三角函数的周期性及其求法，两角和与差的正弦函数公式的应用，三角函数的图象与性质，属于基本知识的考查．