Question

17．在平面直角坐标系xOy中，已知圆C₁：（x+8）²+（y+6）²=25和圆C₂：（x-4）²+（y-6）²=25．
（1）若直线1过原点，且被C₂截得的弦长为6，求直线l的方程；
（2）是否存在点P满足：过点P的无穷多对互相垂直的直线l₁和1₂，它们分别与圆C₁和圆C₂相交，且直线l₁被圆C₁截得的弦长与直线l₂被圆C₂截得的弦长相等，若存在求出点P的坐标，若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）分类讨论，根据半弦长、半径、弦心距满足勾股定理，我们可以求出弦心距，即圆心到直线的距离，得到一个关于直线斜率k的方程，解方程求出k值，代入即得直线l的方程．
（2）与（1）相同，我们可以设出过P点的直线l₁与l₂的点斜式方程，由于两直线斜率为1，且直线l₁被圆C₁截得的弦长与直线l₂被圆C₂截得的弦长相等，故我们可以得到一个关于直线斜率k的方程，解方程求出k值，代入即得直线l₁与l₂的方程．

解答 解：（1）直线1被C₂截得的弦长为6，∴圆心到直线的距离为4，．
直线l的斜率不存在，满足题意，方程为x=0；
∴直线l的斜率存在，设l方程为：y=kx，
圆C₂的圆心到直线l的距离为d=$\frac{|4k-6|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=4
∴k=$\frac{5}{6}$，
∴直线l的方程为y=$\frac{5}{6}$x．
∴直线l的方程为：x=0或y=$\frac{5}{6}$x；
（2）设点P（a，b）满足条件，
由题意分析可得直线l₁、l₂的斜率均存在且不为0，
不妨设直线l₁的方程为y-b=k（x-a），k≠0
则直线l₂方程为：y-b=-$\frac{1}{k}$（x-a）
∵⊙C₁和⊙C₂的半径相等，及直线l₁被圆C₁截得的弦长与直线l₂被圆C₂截得的弦长相等，
∴⊙C₁的圆心到直线l₁的距离和圆C₂的圆心到直线l₂的距离相等
即$\frac{|-6-b-k（-8-a）|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=$\frac{|6-b+\frac{1}{k}（4-a）|}{\sqrt{1+\frac{1}{{k}^{2}}}}$
整理得|-6-b+8k+ka|=|6k-bk+4-a|
∴-6-b+8k+ka=±（6k-bk+4-a）即（a+b+2）k=b-a+10或（a-b+14）k=a+b+2
因k的取值有无穷多个，所以$\left\{\begin{array}{l}{a+b+2=0}\\{b-a+10=0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{a-b+14=0}\\{a+b+2=0}\end{array}\right.$
解得a=4，b=-6或a=-8，b=6
这样的点只可能是点P₁（4，-6）或点P₂（-8，6）
经检验点P₁和P₂满足题目条件．

点评 在解决与圆相关的弦长问题时，我们有三种方法：一是直接求出直线与圆的交点坐标，再利用两点间的距离公式得出；二是不求交点坐标，用一元二次方程根与系数的关系得出，即设直线的斜率为k，直线与圆联立消去y后得到一个关于x的一元二次方程再利用弦长公式求解，三是利用圆中半弦长、弦心距及半径构成的直角三角形来求．对于圆中的弦长问题，一般利用第三种方法比较简捷．本题所用方法就是第三种方法．