Question

二面角α-l-β的平面角记为θ，P为空间的任意一点，P到平面α、β的距离分别为和1，点P到l的距离为2，则θ为(    )

A．75°         B．165°               C.75°或165°        D．以上答案均错

Answer 1

C 

解析：本题主要考查了垂面法求二面角的平面角的方法.注意点P可能在二面角内部，也可能在二面角的外部.如图.

PA⊥α，PB⊥β，垂足分别为A、B.所以PA=，PB=1，设PA、PB确定的平面交α、β分别于AC、BC，PA⊥α，PB⊥β，α∩β=l，∴PA⊥l，PB⊥l，PA∩PB=l，∴l⊥平面PACB，得PC⊥l，l⊥BC，l⊥AC，PC即为点P到l的距离，所以PC=2.∠ACB即为二面角α-l-β的平面角θ.在Rt△PAC中可得∠ACP=45°，在Rt△PBC中可得∠BCP=30°，所以θ=∠ACB=75°.同理，当点P在二面角外部时，可得θ=∠ACB=105°.所以θ=75°或105°.