Question

【题目】已知函数f（x）=tx，（x∈R）．
（1）若t=ax+b，a，b∈R，且﹣1≤f（﹣1）≤2，2≤f（1）≤4，求点（a，b）的集合表示的平面区域的面积；
（2）若t=2+ ，（x＜1且x≠0），求函数f（x）的最大值；
（3）若t=x﹣a﹣3（a∈R），不等式b2+c2﹣bc﹣3b﹣1≤f（x）≤a+4（b，c∈R）的解集为[﹣1，5]，求b，c的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：当t=ax+b时，f（x）=ax2+bx，

由﹣1≤f（﹣1）≤2，2≤f（1）≤4，

可得﹣1≤a﹣b≤2，2≤a+b≤4，

由两平行直线x﹣y=2和x﹣y=﹣1的距离为 ，

两平行直线x+y=2和x+y=4的距离为 ，

可得点（a，b）的集合表示的平面区域（矩形）的面积为 × =3

（2）解：若t=2+ ，（x＜1且x≠0），

则f（x）=2x+ （x＜1且x≠0），

由2x+ =[2（x﹣1）+ ]+2=﹣[2（1﹣x）+ ]+2

≤﹣2 +2=2﹣2 ，

当且仅当2（1﹣x）= ，即x=1﹣ 时，等号成立，

则函数的最大值为2﹣2

（3）解：若t=x﹣a﹣3（a∈R），则f（x）=x2﹣（a+3）x，

f（x）≤a+4（b，c∈R）的解集为[﹣1，5]，

即x2﹣（a+3）x﹣（a+4）≤0的解集为[﹣1，5]，

即﹣1，5为方程x2﹣（a+3）x﹣（a+4）=0的两根，

可得﹣1+5=a+3，﹣1×5=﹣（a+4），

解得a=1；

再由不等式b2+c2﹣bc﹣3b﹣1≤f（x）≤a+4（b，c∈R）的解集为[﹣1，5]，

可得b2+c2﹣bc﹣3b﹣1≤f（x）的最小值，

而f（x）=x2﹣4x=（x﹣2）2﹣4的最小值为﹣4，

则b2+c2﹣bc﹣3b﹣1≤﹣4，

即b2+c2﹣bc﹣3b+3≤0，

记g（c）=c2﹣bc+b2﹣3b+3，

则△=b2﹣4（b2﹣3b+3）≥0，

即﹣3（b﹣2）2≥0，但﹣3（b﹣2）2≤0，

则b=2；

即有4+c2﹣2c﹣6+3≤0，

即c2﹣2c+1≤0，即（c﹣1）2≤0，

但（c﹣1）2≥0，

即c=1

【解析】（1）由题意可得﹣1≤a﹣b≤2，2≤a+b≤4，运用点（a，b）的集合表示的平面区域为矩形，由平行直线间的距离公式，即可得到所求面积；（2）运用基本不等式，注意满足的条件：一正二定三等，即可得到所求最大值；（3）运用二次不等式的解集，可得对应方程的解，运用韦达定理可得a=1，再由不等式b2+c2﹣bc﹣3b﹣1≤f（x）的最小值，结合判别式非负，可得b=2，进而得到c的不等式，求得c=1．
【考点精析】关于本题考查的函数的最值及其几何意义，需要了解利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）值；利用图象求函数的最大（小）值；利用函数单调性的判断函数的最大（小）值才能得出正确答案．