Question

已知函数f（x）=1-2a^x-a^2x（a＞0，a≠1）．
（1）当a=3时，求函数f（x）的值域；
（2）当a＞1时，当x∈[-2，1]时，f（x）的最小值为-7，求a的值．

Answer 1

分析：（1）当a=3时，函数f（x）=-（3^x+1）²+2，根据 （3^x+1）²＞1，可得f（x）=-（3^x+1）²+2＜1，从而求得函数f（x）的值域．
（2）当a＞1时，由 x∈[-2，1]时，f（x）=-（a^x+1）²+2 的最小值为-（a+1）²+2=-7，求得a的值．

解答：解：（1）当a=3时，函数f（x）=1-2×3^x-3^2x=-（3^2x+2×3^x）+1=-（3^x+1）²+2，
∴（3^x+1）²＞1，∴f（x）=-（3^x+1）²+2＜1，故函数f（x）的值域为（-∞，1）．
（2）当a＞1时，∵x∈[-2，1]时，f（x）=-（a^x+1）²+2 的最小值为-（a+1）²+2=-7，
∴（a+1）²=9，∴a=2．

点评：本题主要考查求二次函数在闭区间上的最值，指数函数的值域，属于中档题．