Question

2．已知函数f（x）=x²-1．
（1）对于任意的1≤x≤2，不等式4m²|f（x）|+4f（m）≤|f（x-1）|恒成立，求实数m的取值范围；
（2）若对任意实数x₁∈[1，2]．存在实数x₂∈[1，2]，使得f（x₁）=|2f（x₂）-ax₂|成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由题意可得4m²（|x²-1|+1|≤4+|x²-2x|，由1≤x≤2，可得4m²≤$\frac{4+2{x-x}^{2}}{{x}^{2}}$，运用二次函数的最值的求法，可得右边函数的最小值，解不等式可得m的范围；
（2）f（x）在[1，2]的值域为A，h（x）=|2f（x）-ax|的值域为B，由题意可得A⊆B．分别求得函数f（x）和h（x）的值域，注意讨论对称轴和零点，与区间的关系，结合单调性即可得到值域B，解不等式可得a的范围．

解答 解：（1）对于任意的1≤x≤2，不等式4m²|f（x）|+4f（m）≤|f（x-1）|恒成立，
即为4m²（|x²-1|+1|≤4+|x²-2x|，
由1≤x≤2，可得4m²≤$\frac{4+2{x-x}^{2}}{{x}^{2}}$，
由g（x）=$\frac{4+2{x-x}^{2}}{{x}^{2}}$=4（$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{4}$）²-$\frac{5}{4}$，
当x=2，即$\frac{1}{x}$=$\frac{1}{2}$时，g（x）取得最小值，且为1，
即有4m2≤1，解得-$\frac{1}{2}$≤m≤$\frac{1}{2}$；
（2）对任意实数x₁∈[1，2]．
存在实数x₂∈[1，2]，使得f（x₁）=|2f（x₂）-ax₂|成立，
可设f（x）在[1，2]的值域为A，h（x）=|2f（x）-ax|的值域为B，
可得A⊆B．
由f（x）在[1，2]递增，可得A=[0，3]；
当a＜0时，h（x）=|2x²-ax-2|=2x²-ax-2，（1≤x≤2），
在[1，2]递增，可得B=[-a，6-2a]，
可得-a≤0＜3≤6-2a，不成立；
当a=0时，h（x）=2x²-2，（1≤x≤2），
在[1，2]递增，可得B=[0，6]，
可得0≤0＜3≤6，成立；
当0＜a≤2时，由h（x）=0，解得x=$\frac{a+\sqrt{{a}^{2}+16}}{4}$＞1（负的舍去），
h（x）在[1，$\frac{a+\sqrt{{a}^{2}+16}}{4}$]递减，[$\frac{a+\sqrt{{a}^{2}+16}}{4}$，2]递增，
即有h（x）的值域为[0，h（2）]，即为[0，6-2a]，
由0≤0＜3≤6-2a，解得0＜a≤$\frac{3}{2}$；
当2＜a≤3时，h（x）在[1，$\frac{a+\sqrt{{a}^{2}+16}}{4}$]递减，[$\frac{a+\sqrt{{a}^{2}+16}}{4}$，2]递增，
即有h（x）的值域为[0，h（2）]，即为[0，a]，
由0≤0＜3≤a，解得a=3；
当3＜a≤4时，h（x）在[1，2]递减，可得B=[2a-6，a]，
由2a-6≤0＜3≤a，无解，不成立；
当4＜a≤6时，h（x）在[1，$\frac{a}{4}$]递增，在[$\frac{a}{4}$，2]递减，可得B=[2a-6，2+$\frac{{a}^{2}}{8}$]，
由2a-6≤0＜3≤2a，不成立；
当6＜a≤8时，h（x）在[1，$\frac{a}{4}$]递增，在[$\frac{a}{4}$，2]递减，可得B=[a，2+$\frac{{a}^{2}}{8}$]，
由a≤0＜3≤2a，不成立；
当a＞8时，h（x）在[1，2]递增，可得B=[a，2a-6]，
A⊆B不成立．
综上可得，a的范围是0≤a≤$\frac{3}{2}$或a=3．

点评 本题考查不等式恒成立问题的解法，注意运用参数分离和分类讨论的思想方法，考查函数的单调性的运用：求值域，考查运算能力和推理能力，属于难题．