【题目】过双曲线 的右支上的一点P作一直线l与两渐近线交于A、B两点,其中P是AB的中点;
(1)求双曲线的渐近线方程;
(2)当P坐标为(x0 , 2)时,求直线l的方程;
(3)求证:|OA||OB|是一个定值.
【答案】
(1)解:双曲线 的a=1,b=2,
可得双曲线的渐近线方程为y=± x,
即为y=±2x;
(2)解:令y=2可得x02=1+ =2,
解得x0= ,(负的舍去),
设A(m,2m),B(n,﹣2n),
由P为AB的中点,可得m+n=2 ,2m﹣2n=4,
解得m= +1,n= ﹣1,
即有A( +1,2 +2),
可得PA的斜率为k= =2 ,
则直线l的方程为y﹣2=2 (x﹣ ),
即为y=2 x﹣2;
(3)证明:设P(x0,y0),即有x02﹣ =1,
设A(m,2m),B(n,﹣2n),
由P为AB的中点,可得m+n=2x0,2m﹣2n=2y0,
解得m=x0+ y0,n=x0﹣ y0,
则|OA||OB|= |m| |n|=5|mn|=5|(x0+ y0)(x0﹣ y0)|
=5|x02﹣ |=5为定值.
【解析】(1)求出双曲线的a,b,由双曲线的渐近线方程为y=± x,即可得到所求;(2)令y=2代入双曲线的方程可得P的坐标,再由中点坐标公式,设A(m,2m),B(n,﹣2n),可得A,B的坐标,运用点斜式方程,即可得所求直线方程;(3)设P(x0 , y0),A(m,2m),B(n,﹣2n),代入双曲线的方程,运用中点坐标公式,求得m,n,运用两点的距离公式,即可得到定值.
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【题目】将函数f(x)=sin2x+ cos2x图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),再将图象上所有点向右平移 个单位长度,得到函数g (x)的图象,则g(x)图象的一条对称轴方程是( )
A.x=一
B.x=
C.x=
D.x=
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【题目】已知过点A(0,4),且斜率为的直线与圆C:,相交于不同两点M、N.
(1)求实数的取值范围;
(2)求证:为定值;
(3)若O为坐标原点,问是否存在以MN为直径的圆恰过点O,若存在则求的值,若不存在,说明理由。
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【题目】选修4-4:坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为 (α为参数),直线l的参数方程为 (t为参数),在以坐标原点O为极点,x轴为正半轴为极轴的极坐标系中,过极点O的射线与曲线C相交于不同于极点的点A,且点A的极坐标为(2 ,θ),其中θ∈( ,π)
(Ⅰ)求θ的值;
(Ⅱ)若射线OA与直线l相交于点B,求|AB|的值.
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【题目】在平面直角坐标系中,不等式组 (r为常数)表示的平面区域的面积为π,若x,y满足上述约束条件,则z= 的最小值为( )
A.﹣1
B.﹣
C.
D.﹣
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【题目】已知直线l:y=k(x+2)与圆O:x2+y2=4相交于不重合的A、B两点,O是坐标原点,且三点A、B、O构成三角形.
(1)求k的取值范围;
(2)三角形ABO的面积为S,试将S表示成k的函数,并求出它的定义域;
(3)求S的最大值,并求取得最大值时k的值.
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【题目】选修4-5:不等式选讲
设函数f(x)=|x﹣1|﹣|2x+1|的最大值为m.
(1)作出函数f(x)的图象;
(2)若a2+2c2+3b2=m,求ab+2bc的最大值.
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【题目】已知 , ,则下列结论中正确的是( )
A.函数y=f(x)?g(x)的周期为2
B.函数y=f(x)?g(x)的最大值为1
C.将f(x)的图象向左平移 个单位后得到g(x)的图象
D.将f(x)的图象向右平移 个单位后得到g(x)的图象
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