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【题目】过双曲线 的右支上的一点P作一直线l与两渐近线交于A、B两点,其中P是AB的中点;
(1)求双曲线的渐近线方程;
(2)当P坐标为(x0 , 2)时,求直线l的方程;
(3)求证:|OA||OB|是一个定值.

【答案】
(1)解:双曲线 的a=1,b=2,

可得双曲线的渐近线方程为y=± x,

即为y=±2x;


(2)解:令y=2可得x02=1+ =2,

解得x0= ,(负的舍去),

设A(m,2m),B(n,﹣2n),

由P为AB的中点,可得m+n=2 ,2m﹣2n=4,

解得m= +1,n= ﹣1,

即有A( +1,2 +2),

可得PA的斜率为k= =2

则直线l的方程为y﹣2=2 (x﹣ ),

即为y=2 x﹣2;


(3)证明:设P(x0,y0),即有x02 =1,

设A(m,2m),B(n,﹣2n),

由P为AB的中点,可得m+n=2x0,2m﹣2n=2y0

解得m=x0+ y0,n=x0 y0

则|OA||OB|= |m| |n|=5|mn|=5|(x0+ y0)(x0 y0)|

=5|x02 |=5为定值.


【解析】(1)求出双曲线的a,b,由双曲线的渐近线方程为y=± x,即可得到所求;(2)令y=2代入双曲线的方程可得P的坐标,再由中点坐标公式,设A(m,2m),B(n,﹣2n),可得A,B的坐标,运用点斜式方程,即可得所求直线方程;(3)设P(x0 , y0),A(m,2m),B(n,﹣2n),代入双曲线的方程,运用中点坐标公式,求得m,n,运用两点的距离公式,即可得到定值.

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