Question

已知集合M={x|f（x）-x=0，x∈R}与集合N={x|f[f（x）]-x=0，x∈R}，其中f（x）是一个二次项系数系数为1的二次函数．
（1）判断M与N的关系；
（2）若M是单元素集合，求证：M=N．

Answer 1

考点：集合的包含关系判断及应用

专题：集合

分析：（1）容易得到，任意的x∈M，都有x∈N，所以M⊆N，并且可说明，若0是N的元素，则0可以不是M的元素，所以M?N；
（2）假设集合M只含一个元素x₁，由（1）知x₁也是N的元素，除x₁外假设N还有一个元素x₂，然后推导出矛盾即可说明不存在x₂∈N，即N只有一个元素x₁，所以M=N．

解答： 解：（1）对于任意的x∈M，则f（x）=x，∴f[f（x）]-x=f（x）-x=0；
即任意的x∈M，都有x∈N，∴M⊆N；
若设0∈N，设f（x）=x²+bx+c，f（0）=c，f[f（0）]=f（c）=c（c+b+1），可以让c+b+1=0，而c≠0；
即f[f（0）]=0，而f（0）≠0，∴0∉M；
∴M?N；
（2）证明：设x₁∈M，x₁∈N，x₂∈N，f（x₂）=t；
则：f[f（x₂）]-x₂=0，即f（t）-x₂=0，f（t）=x₂；
∵M是单元素集合，所以x₁是方程：f（x）-x=x²+（b-1）x+c=0的唯一实根；
令g（x）=x²+（b-1）x+c，则该函数值域为[0，+∞），只有x=x₁时，g（x）=0；
则由f（x₂）=t得，x22+bx2+c=t，∴x22+(b-1)x2+c=t-x2＞0，即t＞x₂；
由f（t）=x₂得，t²+bt+c=x₂，∴t²+（b-1）t+c=x₂-t≥0，即x₂≥t；
∴t＞x₂和x₂≥t不可能，即x₂∉N，即M，N都只有一个元素x₁；
∴M=N．

点评：考查复合函数的概念，子集的概念，真子集的概念，二次函数的值域．