Question

若方程ax²+bx+c=0（a≠0）有两个实根x₁，x₂，则有 x1+x2=-

b

a

，x1•x2=

c

a

此定理叫韦达定理，根据韦达定理可以求解下题：已知lgm，lgn是方程2x²-4x+1=0的两个实数根，则
（1）求mn的值；
（2）求log_nm+log_mn的值．

Answer 1

分析：（1）由条件利用韦达定理可得 lgm+lgn=2，即lg（mn）=2，由此求得 mn的值．
（2）利用对数的换底公式化简log_nm+log_mn 为

(lgm+lgn)2-2lgm•lgn

lgm•lgn

，再把由韦达定理求得的结果代入，
运算求得结果．

解答：解：（1）∵已知lgm，lgn是方程2x²-4x+1=0的两个实数根，
则由韦达定理可得 lgm+lgn=2，lgm•lgn=

1

2

．
故有 lg（mn）=2，∴mn=100．
（2）由于log_nm+log_mn=

lgm

lgn

+

lgn

lgm

=

(lgm)2+(lgn)2

lgm•lgn

=

(lgm+lgn)2-2lgm•lgn

lgm•lgn

=

22-2× 1 2

1 2

=6，
即所求式子log_nm+log_mn 的值为 6．

点评：本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，对数的运算性质的应用，属于中档题．