Question

【题目】如图，已知AB是半径为2的半球O的直径，P，D为球面上的两点且∠DAB=∠PAB=60°， ．
（1）求证：平面PAB⊥平面DAB；
（2）求二面角B﹣AP﹣D的余弦值．

Answer 1

【答案】
（1）证明：在△PAB中，过P作PH⊥AB于点H，连HD．

由Rt△APB≌Rt△ADB可知DH⊥AB，且 ，

又 PH2+HD2=3+3=6=PD2，∴PH⊥HD．

又AB∩HD=H，∴PH⊥平面ABD，又PH平面PAB，

∴平面PAB⊥平面ABD．

（2）解：由（1）可知HB，HD，HP两两垂直，

故以H为原点，HB，HD，HP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，如图建立空间直角坐标系，可知 ．

设平面APD的法向量为 =（x，y，z），

则 ，即 ，

∴ ，

令 ，则得y=z=1，∴ ，

又平面APB的法向量 =（0，1，0），

∴cos = = = ，

而二面角B﹣AP﹣D与m，n的夹角相等，

因此所求的二面角B﹣AP﹣D的余弦值为 ．

【解析】（1）在△PAB中，过P作PH⊥AB于点H，连HD．证明DH⊥AB，PH⊥HD．推出PH⊥平面ABD，然后证明平面PAB⊥平面ABD．（2）由（1）可知HB，HD，HP两两垂直，故以H为原点，HB，HD，HP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，求出相关点的坐标求出平面APD的法向量，平面APB的法向量，利用空间向量的数量积求解二面角B﹣AP﹣D的余弦值即可．
【考点精析】通过灵活运用平面与平面垂直的判定，掌握一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直即可以解答此题．