Question

【题目】已知函数f（x）= +b（a，b∈R）的图象在点（1，f（1））处的切线方程为y=x﹣1．
（1）求实数a，b的值及函数f（x）的单调区间．
（2）当f（x1）=f（x2）（x1≠x2）时，比较x1+x2与2e（e为自然对数的底数）的大小．

Answer 1

【答案】
（1）解：f′（x）= ，

∵函数f（x）图象在点（1，f（1））处的切线方程为y=x﹣1，

∴ ，

∴f（x）= ，定义域为（0，+∞），

∴f′（x）=

∴x∈（0，e），f′（x）＞0，x∈（e，+∞），f′（x）＜0，

∴f（x）的单调增区间是（0，e），单调减区间是（e，+∞）

（2）解：当f（x1）=f（x2）（x1≠x2）时，x1+x2＞2e，

下面证明结论，

当x＞e时，f（x）= ＞0，由（1）可知f（x）的单调增区间是（0，e），单调减区间是（e，+∞），

又f（1）=0，

∴若f（x1）=f（x2）（x1≠x2），则x1，x2都大于1，且必有一个小于e，一个大于e，

设1＜x1＜e＜x2，

当x2≥2e时，显然x1+x2＞2e，

当e＜x2＜2e时，

∴f（x1）﹣f（2e﹣x2）=f（x2）﹣f（2e﹣x2）= ﹣ ，

设g（x）= ﹣ ，e＜x＜2e，

∴g′（x）= {4e（e﹣x）（1﹣lnx）+x2[（2﹣ln（﹣（x﹣e）2+e2]}，

∵e＜x＜2e，

∴0＜﹣（x﹣e）2+e2＜e2，

∴2﹣ln（﹣（x﹣e）2+e2＞0

∵4e（e﹣x）（1﹣lnx）＞0，

∴g′（x）＞0，

∴g（x）在（e，2e）上单调递增，

∴g（x）＞g（e）=0，

∴f（x1）＞f（2e﹣x2），

∵1＜x1＜e＜x2，

∴0＜2e﹣x2＜e，

∵f（x）在（0，e）上单调递增，

∴x1＞2e﹣x2，

∴x1+x2＞2e，

综上所述，当f（x1）=f（x2）（x1≠x2）时，x1+x2＞2e

【解析】（1）根据导数几何意义即可求出a，b的值，根据导数和函数的单调性的关系即可求出，（2）当f（x1）=f（x2）（x1≠x2）时，x1+x2＞2e，设1＜x1＜e＜x2，当x2≥2e时，显然x1+x2＞2e，当e＜x2＜2e时，构造函数，根据函数的单调性即可证明
【考点精析】根据题目的已知条件，利用利用导数研究函数的单调性的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减．