Question

已知函数f（x）=Asin（2x+φ）（A＞0，0＜φ＜2π），若对任意x∈R有f(x)≥f(

5

12

π)成立，则方程f（x）=0在[0，π]上的解为

 

．

Answer 1

分析：由题意和正弦函数的值域得six（2×

5π

12

+φ）=-1，利用φ的范围求出φ的值，即求出函数的解析式，再由f（x）=0列出方程，根据正弦函数性质和区间[0，π]求出x的值．

解答：解：由题意知，对任意x∈R有f(x)≥f(

5

12

π)成立，
∵A＞0，且sinx∈[-1，1]，∴six（2×

5π

12

+φ）=-1，
∴2×

5π

12

+φ=-

π

2

+kπ，解得φ=-

4π

3

+kπ （k∈Z），
又∵0＜φ＜2π，∴φ=2π-

4π

3

=

2π

3

，
∴函数f（x）=Asin（2x+

2π

3

），
由f（x）=0得，Asin（2x+

2π

3

）=0，即2x+

2π

3

=kπ（k∈Z），
解得，x=-

π

3

+

kπ

2

（k∈Z），
∵x∈[0，π]，∴x=

π

6

或

2π

3

，
故答案为：

π

6

或

2π

3

．

点评：本题考查了正弦函数的值域和含有三角函数方程的解法，主要根据正弦函数的性质进行求解，注意给出的范围以及周期性的应用．