Question

对于矩阵A，如果存在一个矩阵A^-1，使得AA^-1=A^-1A=E（E为单位矩阵），则称矩阵A是“可逆”的，把矩阵A^-1叫做A的“逆矩阵”．
（1）已知A=

1 -1 1 1

， B=

1 2 1 2 - 1 2 1 2

，求证B为A的逆矩阵
（2）若A=

2 1 -1 0

，求A的逆矩阵．

Answer 1

分析：（1）欲证明B为A的逆矩阵，根据题意只须证明AB=BA=E即可B为A的逆矩阵；
（2）先设B=

a b c d

是A的逆矩阵，则AB=

2 1 -1 0

a b c d

=

1 0 0 1

列出关于a，b，c，d的方程组，求得它们的值，再结合

1 0 0 1

2 1 -1 0

=

1 0 0 1

即可．

解答：解（1）AB=

1 -1 1 1

1 2 1 2 - 1 2 1 2

=

1 0 0 1

，
BA=

1 2 1 2 - 1 2 1 2

1 -1 1 1

=

1 0 0 1

所以B为A的逆矩阵．（5分）
（2）设B=

a b c d

是A的逆矩阵，则AB=

2 1 -1 0

a b c d

=

1 0 0 1

⇒

2a+c 2b+d -a -b

=

1 0 0 1

⇒

2a+c=1 2b+d=0  -a=0  -b=1

⇒

a=0 b=-1 c=1 d=2

（8分）
又因为

1 0 0 1

2 1 -1 0

=

1 0 0 1

，（9分）
所以A的逆矩阵是B=

0 -1 1 2

．（10分）

点评：本小题主要考查逆变换与逆矩阵、逆矩阵解法等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．