Question

【题目】解答题
（Ⅰ）讨论函数f（x）= ex的单调性，并证明当x＞0时，（x﹣2）ex+x+2＞0；
（Ⅱ）证明：当a∈[0，1）时，函数g（x）= （x＞0）有最小值．设g（x）的最小值为h（a），求函数h（a）的值域．

Answer 1

【答案】解：（微软雅黑）证明：f（x）=

f'（x）=ex（ ）=

∵当x∈（﹣∞，﹣2）∪（﹣2，+∞）时，f'（x）＞0

∴f（x）在（﹣∞，﹣2）和（﹣2，+∞）上单调递增

∴x＞0时， ＞f（0）=﹣1

即（x﹣2）ex+x+2＞0

（Ⅱ）g'（x）=

= =

a∈[0，1）

由（Ⅰ）知，当x＞0时，f（x）= 的值域为（﹣1，+∞），只有一解使得

，

只需 et≤0恒成立，可得﹣2＜t≤2，

由x＞0，可得

t∈（0，2]

当x∈（0，t）时，g'（x）＜0，g（x）单调减；

当x∈（t，+∞），g'（x）＞0，g（x）单调增；

h（a）= = =

记k（t）= ，在t∈（0，2]时，k'（t）= ＞0，

故k（t）单调递增，

所以h（a）=k（t）∈（ ， ]

【解析】从导数作为切入点探求函数的单调性，通过函数单调性来求得函数的值域，利用复合函数的求导公式进行求导，然后逐步分析即可
【考点精析】认真审题，首先需要了解利用导数研究函数的单调性(一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减)，还要掌握函数的极值与导数(求函数的极值的方法是:（1）如果在附近的左侧,右侧,那么是极大值（2）如果在附近的左侧,右侧,那么是极小值)的相关知识才是答题的关键．