Question

12．已知数列{a_n}的满足${a_{n+1}}=\frac{{3{a_n}+\sqrt{3}}}{{3-\sqrt{3}{a_n}}}$，${a_1}=3\sqrt{3}$，则a₂₀₁₅=$\frac{{\sqrt{3}}}{5}$．

Answer 1

分析 由${a_{n+1}}=\frac{{3{a_n}+\sqrt{3}}}{{3-\sqrt{3}{a_n}}}$，${a_1}=3\sqrt{3}$可知数列{a_n}的周期为6，从而解得．

解答 解：∵${a_{n+1}}=\frac{{3{a_n}+\sqrt{3}}}{{3-\sqrt{3}{a_n}}}$，${a_1}=3\sqrt{3}$，
∴a₂=$\frac{3{a}_{1}+\sqrt{3}}{3-\sqrt{3}{a}_{1}}$=-$\frac{5}{3}$$\sqrt{3}$，
a₃=$\frac{3{a}_{2}+\sqrt{3}}{3-\sqrt{3}{a}_{2}}$=-$\frac{1}{2}$$\sqrt{3}$，
a₄=$\frac{3{a}_{3}+\sqrt{3}}{3-\sqrt{3}{a}_{3}}$=-$\frac{1}{9}$$\sqrt{3}$，
a₅=$\frac{3{a}_{4}+\sqrt{3}}{3-\sqrt{3}{a}_{4}}$=$\frac{1}{5}$$\sqrt{3}$，
a₆=$\frac{3{a}_{5}+\sqrt{3}}{3-\sqrt{3}{a}_{5}}$=$\frac{2}{3}$$\sqrt{3}$，
a₇=$\frac{3×\frac{2}{3}\sqrt{3}+\sqrt{3}}{3-\sqrt{3}•\frac{2}{3}\sqrt{3}}$=3$\sqrt{3}$，
故数列{a_n}的周期为6，
而2015=335×6+5，
故a₂₀₁₅=a₅=$\frac{1}{5}$$\sqrt{3}$，
故答案为：$\frac{{\sqrt{3}}}{5}$．

点评 本题考查了数列的递推公式的应用及周期性的应用，属于基础题．