Question

已知点F₁，F₂为椭圆

x2

2

+y2=1的两个焦点，点O为坐标原点，圆O是以F₁，F₂为直径的圆，一条直线与圆O相切并与椭圆交于不同的两点A，B．
（1）设b=f（k），求f（k）的表达式；
（2）若

OA

•

OB

=

2

3

，求直线l的方程；
（3）若

OA

•

OB

=m，(

2

3

≤m≤

3

4

)，求三角形OAB面积的取值范围．

Answer 1

分析：（1）先利用条件求出圆O的方程，再利用圆心到直线的距离等于半径可得b和k满足的关系式；
（2）先把直线l的方程与双曲线方程联立求出A、B两点的坐标与b和k之间的等式，再利用 (

OA

•

OB

)p2=1以及（1）的结论求出b和k进而求得直线l的方程；
（3）用类似于（2）的方法求出之间的关系式，求出弦AB的长，再把△AOB面积整理成关于m的函数；利用函数的单调性求出△AOB面积的取值范围即可．

解答：解：∵c=1且直线与圆O相切∴

|b|

1+k2

=1∵b＞0，∴b=

1+k2

（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则由

y=kx+b x2 2 +y2=1

，消去y得（2k²+1）x²+4kbx+2b²-2=0
又△=8k2＞0(Qk≠0)，x1+x2=-

4kb

2k2+1

，x1x2=

2b2-2

2k2+1

则

OA

•

OB

=x1x2+y1y2=

k2+1

2k2+1

．
由

OA

•

OB

=

2

3

，∴k²=1，b²=2.

b＞0

，∴b=

2

，
直线l的方程为：y=±x+

2

．
（3）由（2）知：

k2+1

2k2+1

=m．Q

2

3

≤m≤

3

4

，∴

2

3

≤

k2+1

2k2+1

≤

3

4

，∴

1

2

≤k2≤1，
由弦长公式得|AB|=

k2+1

•

2 k2

2k2+1

，所以S=

1

2

|AB|=

2k2(k2+1)

2k2+1

解得∴

6

4

≤S≤

2

3

．

点评：本题主要考查了向量在几何中的应用，是对函数，向量，抛物线以及圆的综合考查，由于知识点较多，是道难题．