Question

（02年北京卷文）（12分）

如图，在多面体ABCD―A₁B₁C₁D₁中，上、下底面平行且均为矩形，相对的侧面与同一底面所成的二面角大小相等，上、下底面矩形的长、宽分别为c，d与a，b且a＞c，b＞d，两底面间的距离为h..

   （Ⅰ）求侧面ABB₁A₁与底面ABCD所成二面角正切值；

   （Ⅱ）在估测该多面体的体积时，经常运用近似公式

 V_估=S_中截面?h来计算.已知它的体积公式是

 （S_上底面+4S_中截面+S_下底面），

试判断V_估与V的大小关系，并加以证明.

   （注：与两个底面平行，且到两个底面距离相等的截面称为该多面体的中截面.）

Answer 1

解析：（1）解：过B₁C₁作底面ABCD的垂直平面，交底面于

PQ,过B₁作B₁G⊥PQ,垂足为G.∵平面ABCD∥平

面A₁B₁C₁D₁，∠A₁B₁C₁=90°，∴AB⊥PQ，AB⊥

B₁P. ∴∠B₁PG为所求二面角的平面角.过C₁作

C₁H⊥PQ，垂足为H.由于相对侧面与底面所成二

面角的大小相等，故四边形B₁PQC₁为等腰梯形.

，即所求二面角的正切值为.

  

 

（2）V_估＜V.证明： ∵a＞c，b＞d，∴

         ∴V_估＜V.