Question

（文）已知{a_n}是公差不为零的等差数列，a₁=1，且a₁，a₃，a₉成等比数列．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）求数列{

1

an•an+1

}的前n项和S_n．

Answer 1

分析：（1）由a₁=1，a₁，a₃，a₉成等比数列得

1+2d

1

=

1+8d

1+2d

，故d=1，d=0（舍去由此能求出{a_n}的通项a_n．
（2）由

1

an•an+1

=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，利用裂项求和法能求出数列{

1

an•an+1

}的前n项和S_n．

解答：解：（1）由题设知公差d≠0，
由a₁=1，a₁，a₃，a₉成等比数列得

1+2d

1

=

1+8d

1+2d

，…（4分）
解得d=1，d=0（舍去），…（4分）
故{a_n}的通项a_n=1+（n-1）×1=n．                        …（5分）
（2）∵

1

an•an+1

=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，…（7分）
∴Sn=(

1

1

-

1

2

)+(

1

2

-

1

3

)+…+(

1

n

-

1

n+1

)=1-

1

n+1

=

n

n+1

．…（10分）

点评：本题考查等差数列、等比数列的基本量、通项，结合含两个变量的不等式的处理问题，考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想．对数学思维的要求比较高，有一定的探索性．综合性强，难度大，易出错，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答．