Question

【题目】已知函数f（x）= 为奇函数．
（1）求实数a的值；
（2）试判断函数的单调性并加以证明；
（3）对任意的x∈R，不等式f（x）＜m恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：由函数为奇函数可得f（0）= =0，解得a=﹣1
（2）解：由（1）可得f（x）= = =1﹣ ，

可得函数在R上单调递增，下面证明：

任取实数x1＜x2，则f（x1）﹣f（x2）

= ﹣ = ＜0，

∴函数f（x）= R上的增函数

（3）解：∵函数f（x）为增函数，当x趋向于正无穷大时，f（x）趋向于1，

要使不等式f（x）＜m恒成立，则需m≥1

【解析】（1）解f（0）=0可得a值；（2）由单调性的定义可得；（3）由（1）（2）可得函数f（x）为增函数，当x趋向于正无穷大时，f（x）趋向于1，可得m≥1．
【考点精析】关于本题考查的函数单调性的判断方法和函数奇偶性的性质，需要了解单调性的判定法：①设x1,x2是所研究区间内任两个自变量，且x1＜x2；②判定f(x1)与f(x2)的大小；③作差比较或作商比较；在公共定义域内，偶函数的加减乘除仍为偶函数；奇函数的加减仍为奇函数；奇数个奇函数的乘除认为奇函数；偶数个奇函数的乘除为偶函数；一奇一偶的乘积是奇函数;复合函数的奇偶性：一个为偶就为偶，两个为奇才为奇才能得出正确答案．