Question

已知椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F₁、F₂，离心率为

2

2

，过F₁的直线l₁交椭圆于A、B两点，且△ABF₂的周长为4

2

．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）过F₂且与l₁垂直的直线l₂交椭圆于C、D两点，求证：

1

|AB|

+

1

|CD|

为定值．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（Ⅰ）由题意，得

c a = 2 2 4a=4 2

，由此能求出椭圆的方程．
（Ⅱ）由题意直线l₁，l₂中至少有一条存在斜率，设l₁的斜率为k，又l₁过F₁（-1，0），故l₁的方程为y=k（x+1），代入x²+2y²-2=0，得（1+2k²）x²+4k²x+2k²-2=0，由此求得|AB|=

2 2 (1+k2)

1+2k2

．当k≠0时，同理得|CD|=

2 2 (1+k2)

2+k2

，从而求出

1

|AB|

+

1

|CD|

=

1+2k2

2 2 (1+k2)

+

2+k2

2 2 (1+k2)

=

3 2

4

．当k=0时，同样有

1

|AB|

+

1

|CD|

=

3 2

4

．由此能证明

1

|AB|

+

1

|CD|

为定值

3 2

4

．

解答： （Ⅰ）解：由题意，得

c a = 2 2 4a=4 2

，
解得a=

2

c=1，∴b²=2-1=1，
故所求的椭圆的方程为

x2

2

+y2=1.4分
（Ⅱ）证明：由题意直线l₁，l₂中至少有一条存在斜率，
不妨设l₁的斜率为k，又l₁过F₁（-1，0），
故l₁的方程为y=k（x+1），
代入x²+2y²-2=0，得（1+2k²）x²+4k²x+2k²-2=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x1+x2=-

4k2

1+2k2

，x1+x2=

2k2-2

1+2k2

，
∴|AB|=

1+k2

•

(x1+x2)2-4x1x2

=

2 2 (1+k2)

1+2k2

.8分
①当k≠0时，∵l₁⊥l₂，∴l₂的斜率为-

1

k

，
同上推得|CD|=

2 2 [1+(- 1 k )2]

1+2(- 1 k )2

=

2 2 (1+k2)

2+k2

，
故

1

|AB|

+

1

|CD|

=

1+2k2

2 2 (1+k2)

+

2+k2

2 2 (1+k2)

=

3 2

4

.11分
②当k=0时，由题意得|AB|=2

2

，|CD|=

2

，同样有

1

|AB|

+

1

|CD|

=

3 2

4

．
综合①②即知

1

|AB|

+

1

|CD|

为定值

3 2

4

.13分．

点评：本题考查椭圆方程的求法，考查两线段的倒数和为定值的证明，解题时要认真审题，注意椭圆弦长公式的合理运用．