Question

（2013•青岛一模）定义区间（a，b），[a，b），（a，b]，[a，b]的长度均为d=b-a．用[x]表示不超过x的最大整数，记{x}=x-[x]，其中x∈R．设f（x）=[x]{x}，g（x）=x-1，若用d表示不等式f（x）＜g（x）解集区间的长度，则当0≤x≤3时，有（　　）

A．d=1

B．d=2

C．d=3

D．d=4

Answer 1

分析：先化简f（x）=[x]•{x}=[x]•（x-[x]）=[x]x-[x]²，再化简f（x）＜（x），再分类讨论：①当x∈[0，1）时，②当x∈[1，2）时③当x∈[2，3]时，求出f（x）＜g（x）在0≤x≤3时的解集的长度．

解答：解：f（x）=[x]•{x}=[x]•（x-[x]）=[x]x-[x]²，g（x）=x-1
f（x）＜g（x）⇒[x]x-[x]²＜x-1即（[x]-1）x＜[x]²-1
当x∈[0，1）时，[x]=0，上式可化为x＞1，∴x∈∅；
当x∈[1，2）时，[x]=1，上式可化为0＞0，∴x∈∅；
当x∈[2，3]时，[x]-1＞0，上式可化为x＜[x]+1，∴x∈[2，3]；
∴f（x）＜g（x）在0≤x≤3时的解集为[2，3]，故d=1．
故选：A．

点评：本题主要考查了抽象函数及其应用，同时考查了创新能力，以及分类讨论的思想和转化思想，属于中档题