Question

如图，A是抛物线x²=4y上异于原点的任意一点，F为抛物线的焦点，l为抛物线在A点处的切线，点B、C在抛物线上，AB⊥l且交y轴于M，点A、F、C三点共线，直线BC交y轴于N．
（1）求证：|AF|=|MF|；
（2）求|MN|的最小值．

Answer 1

分析：（1）设A（x₀，y₀），B（x₁，y₁），C（x₂，y₂），求出直线l的斜率，可得AB的斜率，从而可得直线AB的方程，令x=0，确定M的坐标，从而可得|MF|=y₀+1，由抛物线的定义可得|AF|=y₀+1，则可得结论；
（2）先确定BC的斜率，进而可得BC的方程，进一步确定N的坐标，可得|MN|，利用基本不等式，可得|MN|的最小值．

解答：（1）证明：设A（x₀，y₀），B（x₁，y₁），C（x₂，y₂），
∵x²=4y，∴y=

1

4

x2，∴y′=

1

2

x，∴直线l的斜率k₁=

x0

2

∵AB⊥l，∴k_AB=-

2

x0

，∴直线AB的方程为y-y₀=-

2

x0

（x-x₀）
令x=0，则y=y₀+2，∴M（0，y₀+2）
∵F（0，1），∴|MF|=y₀+1
由抛物线的定义可得|AF|=y₀+1，
∴|AF|=|MF|；
（2）解：直线AB的方程代入抛物线方程，消去y可得

1

4

x²+

2

x0

x-2-y₀=0
∴x₁+x₀=-

8

x0

，∴x₁=-x₀-

8

x0

设直线AC：y=kx+1代入抛物线方程，消去y可得x²-4kx-4=0，∴x₀x₂=-4，∴x₂=-

4

x0

∴k_BC=-

x0

4

-

3

x0

，∴直线BC的方程为y-y₂=（-

x0

4

-

3

x0

）（x-x2）
令x=0得y=（-

x0

4

-

3

x0

）（-x₂）+y₂，代入x₂=-

4

x0

，y₂=

4

x 2 0

，化简得y=-1-

8

x 2 0

∴N（0，-1-

8

x 2 0

），∴|MN|=y₀+2+1+

8

x 2 0

=

x 2 0

4

+

8

x 2 0

3≥3+2

2

当且仅当x₀⁴=32时等号成立，
∴|MN|的最小值为3+2

2

．

点评：本题考查抛物线的定义，考查直线方程的求解，考查直线与抛物线的位置关系，考查基本不等式的运用，属于中档题．