Question

12．设F₁，F₂分别是椭圆$C：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞b＞0}）$的左右焦点，M是椭圆C上一点，且直线MF₂与x轴垂直，直线MF₁与C的另一个交点为N．
（1）若直线MN的斜率为$\frac{3}{4}$，求C的离心率；
（2）若直线MN在y轴上的截距为2，且MN=5F₁N，求椭圆C的方程．

Answer 1

分析 （1）由题意可知：$M（{c，\frac{b^2}{a}}）$，则${k_{MN}}={k_{{F_1}M}}=\frac{{\frac{b^2}{a}}}{2c}=\frac{3}{4}⇒2{b^2}=3ac$，则2a²-2c²=3ac，整理得：2e²+3e-2=0，即可求得C的离心率；
（2）丨MF₂丨=4，即$\frac{{b}^{2}}{a}$=4，$\overrightarrow{D{F}_{1}}$=2$\overrightarrow{{F}_{1}N}$，则N（-$\frac{3c}{2}$，-1），代入椭圆方程即可求得a和b，求得椭圆C的方程．

解答 解：（1）椭圆$C：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞b＞0}）$的左右焦点F₁（-c，0），F₂（c，0），
由直线MF₂与x轴垂直，则$M（{c，\frac{b^2}{a}}）$，
则${k_{MN}}={k_{{F_1}M}}=\frac{{\frac{b^2}{a}}}{2c}=\frac{3}{4}⇒2{b^2}=3ac$，
2a²-2c²=3ac，
由e=$\frac{c}{a}$，同时除以a²，整理得：2e²+3e-2=0，解得：e=$\frac{1}{2}$，或e=-2（舍去），
∴C的离心率$\frac{1}{2}$；（5分）
（2）记直线MN与y轴的交点为D（0，2），则丨MF₂丨=4，即$\frac{{b}^{2}}{a}$=4①，
∵丨MN丨=5丨F₁N丨，
∴$\overrightarrow{D{F}_{1}}$=2$\overrightarrow{{F}_{1}N}$，则N（-$\frac{3c}{2}$，-1），
将N的坐标代入椭圆方程得$\frac{{9{c^2}}}{{4{a^2}}}+\frac{1}{b^2}=1$②
由①②及c²=a²-b²得a²=49，b²=28，
故所求椭圆C的方程为$\frac{x^2}{49}+\frac{y^2}{28}=1$．                               （12分）

点评 本题考查椭圆的标准方程及简单几何性质，向量的坐标运算，考查计算能力，属于中档题．