Question

在△ABC中，设

AB

与

BC

的夹角为θ，已知

AB

•

BC

=6，且2

3

≤|

AB

||

BC

|sin（π-θ）≤6．
（1）求θ的取值范围；
（2）求函数f（θ）=

1- 2 cos(2θ- π 4 )

sinθ

的最大值．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,平面向量数量积的运算,三角函数的最值

专题：三角函数的求值,三角函数的图像与性质,平面向量及应用

分析：（1）首先根据向量的数量积与已知条件求出向量的夹角范围．
（2）进一步对三角函数的关系式进行恒等变形，利用夹角的范围求出三角函数关系式的最值．

解答： 解：（1）∵

AB

•

BC

=|

AB

||

BC

|cosθ=6，①
2

3

≤|

AB

||

BC

|sinθ≤6，②
由

②

①

得，

3

3

≤tanθ≤1，
∵θ为

AB

与

BC

的夹角，
∴θ∈[

π

6

，

π

4

]；
（2）f(θ)=

1-(cos2θ+sin2θ)

sinθ

=

2sin2θ-2sinθcosθ

sinθ

=2(sinθ-cosθ)=2

2

sin(θ-

π

4

)，
由于f(θ)=2

2

sin(θ-

π

4

)在θ∈[

π

6

，

π

4

]内是增函数，
∴f（θ）_max=0（当且仅当θ=

π

4

时等号成立）．

点评：本题考查的知识要点：向量的数量积的应用，向量的夹角的求法，三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的最值问题，属于基础题型．