Question

【题目】已知椭圆C： =1（a＞0）的焦点在x轴上，且椭圆C的焦距为2． （Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）过点R（4，0）的直线l与椭圆C交于两点P，Q，过P作PN⊥x轴且与椭圆C交于另一点N，F为椭圆C的右焦点，求证：三点N，F，Q在同一条直线上．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）∵椭圆 的焦点在x轴上，

∴a2＞7﹣a2，即 ，

∵椭圆C的焦距为2，且a2﹣b2=c2，

∴a2﹣（7﹣a2）=1，解得a2=4，

∴椭圆C的标准方程为 ；

（Ⅱ）证明：由题知直线l的斜率存在，

设l的方程为y=k（x﹣4），点P（x1，y1），Q（x2，y2），N（x1，﹣y1），

则 得3x2+4k2（x﹣4）2=12，

即（3+4k2）x2﹣32k2x+64k2﹣12=0，△＞0， ， ，

由题可得直线QN方程为 ，

又∵y1=k（x1﹣4），y2=k（x2﹣4），

∴直线QN方程为 ，

令y=0，整理得 =

= = ，

即直线QN过点（1，0），

又∵椭圆C的右焦点坐标为F（1，0），

∴三点N，F，Q在同一条直线上．

【解析】（Ⅰ）由椭圆的焦点位置分析可得a2＞7﹣a2，进而由椭圆的几何性质可得a2﹣（7﹣a2）=1，解可得a的值，代入椭圆的方程即可得答案；（Ⅱ）分析可得直线l的斜率存在，设l的方程为y=k（x﹣4），联立直线与椭圆的方程，由根与系数的关系分析可得直线QN方程，令y=0，可得直线QN过点（1，0），由椭圆的几何性质分析可得答案．