Question

13．已知a＞0，b＞0，求证：$\frac{b}{{a}^{2}}$+$\frac{a}{{b}^{2}}$≥$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$．

Answer 1

分析 利用基本不等式可得$\frac{b}{{a}^{2}}$+$\frac{1}{b}$≥2×$\frac{1}{a}$，$\frac{1}{a}$+$\frac{a}{{b}^{2}}$≥2×$\frac{1}{b}$，相加，即可证明结论．

解答 证明：∵a＞0，b＞0，
∴$\frac{b}{{a}^{2}}$+$\frac{1}{b}$≥2×$\frac{1}{a}$，$\frac{1}{a}$+$\frac{a}{{b}^{2}}$≥2×$\frac{1}{b}$，
∴$\frac{b}{{a}^{2}}$+$\frac{1}{b}$+$\frac{1}{a}$+$\frac{a}{{b}^{2}}$≥2×$\frac{1}{a}$+2×$\frac{1}{b}$，
∴$\frac{b}{{a}^{2}}$+$\frac{a}{{b}^{2}}$≥$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$．

点评 本题考查不等式的证明，考查基本不等式的运用，正确运用基本不等式是关键．