Question

3．设函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{1+cos\frac{πx}{2}，x＞1}\\{{x}^{2}，0＜x≤1}\end{array}\right.$函数g（x）=x$+\frac{1}{x}+a$（x＞0），若存在唯一的x₀，使得h（x）=min{f（x），g（x）}的最小值为h（x₀），则实数a的取值范围为（　　）

• A． a＜-2
• B． a≤-2
• C． a＜-1
• D． a≤-1

Answer 1

分析 作出函数f（x）的图象，可得最小值为0，最大值为2，由基本不等式可得g（x）的最小值为2+a，由题意可得2+a＜0，解不等式即可得到所求范围

解答 解：作出函数函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{1+cos\frac{πx}{2}，x＞1}\\{{x}^{2}，0＜x≤1}\end{array}\right.$的图象，可得f（x）的最小值为0，最大值为2；
函数g（x）=x$+\frac{1}{x}+a$≥2+a，且仅当x=1取得最小值2+a．
由存在唯一的x₀，使得h（x）=min{f（x），g（x）}的最小值为h（x₀），
可得2+a＜0，解得a＜-2．
故选：A．

点评 本题考查分段函数的图象及应用，考查基本不等式的运用：求最值，注意数形结合思想方法的运用，属于中档题．