Question

点A为△BCD所在平面外的一点，点O为点A在平面BCD内的射影，若AC⊥BD，AD⊥BC，求证：AB⊥CD．

Answer 1

分析：由已知中点A为△BCD所在平面外的一点，点O为点A在平面BCD内的射影，可得AO⊥BC，AO⊥BD，AO⊥CD，进而利用线面垂直与线线垂直之间的辩证关系，我们易得到O为△BCD的垂心，再由线面垂直的判定定理得到CD⊥平面AOB，最后由线面垂直的性质得到AB⊥CD．

解答：证明：由已知中点O为点A在平面BCD内的射影，
∴AO⊥平面BCD，即AO⊥BC，AO⊥BD，AO⊥CD
∵AC⊥BD，AC∩AO=A
∴BD⊥平面OAC，BD⊥CO，
同理由AD⊥BC可证BC⊥D0，
即O为△BCD的垂心，
∴CD⊥OB，又由OB∩AO=0
∴CD⊥平面AOB
又由AB?平面AOB
∴AB⊥CD

点评：本题考查的知识点是直线与平面垂直的性质，其中熟练掌握空间直线与平面垂直的判定定理及性质定理，是解答本题的关键．