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【题目】已知O为坐标原点,椭圆C:的左、右焦点分别为F1,F2,右顶点为A,上顶点为B,|OB|,|OF2|,|AB|成等比数列,椭圆C上的点到焦点F2的最短距离为

(1)求椭圆C的标准方程;

(2)设T为直线x=-3上任意一点,过F1的直线交椭圆C于点P,Q,且,求的最小值.

【答案】(1)(2)

【解析】

利用已知条件,算出,再根据,求出,写出椭圆方程

可得,设,直线的方程为,联立直线的方程和椭圆的方程,消去,根据韦达定理,求出的表达式,利用基本不等式求出最小值

解:(1)易知

,得

故椭圆的标准方程为

(2)由(1)知,故,设

,直线的斜率为

时,直线的斜率为,直线的方程为

时,直线的方程为,也符合方程

,将直线的方程与椭圆的方程联立,得

消去,得:

当且仅当,即时,等号成立.

的最小值为

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