Question

7．如图，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中．

（Ⅰ）如图（1）求CD₁与平面A₁B₁CD所成的角
（Ⅱ）如图（2）求证：A₁C∥平面AED₁．

Answer 1

分析 （Ⅰ）连接 D₁A交A₁D于点O，连接OC，则AD₁⊥A₁D，A₁B₁⊥AD₁，从而AD₁⊥平面A₁B₁ CD，∠D₁CO是CD₁与平面所成的角，由此能求出CD₁与平面A₁B₁ CD所成的角．
（Ⅱ）连接A₁D交AD₁于点O，连结OE，则OE∥A₁C，由此能证明A₁C∥平面AED₁．

解答 （本题满分12分）．

解：（Ⅰ）在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁，连接 D₁A交A₁D于点O，
连接OC，如图（1），
则AD₁⊥A₁D
又∵A₁B₁⊥平面ADD₁A₁，AD₁?平面ADD₁A₁，
∴A₁B₁⊥AD₁
又∵A₁B₁∩A₁ D=A₁，∴AD₁⊥平面A₁B₁ CD，
∴∠D₁CO是CD₁与平面所成的角，
在Rt△D₁OC中，$O{D_1}=\frac{1}{2}{D_1}C$，∴∠D₁OC=30°，
∴CD₁与平面A₁B₁ CD所成的角为30°．
证明：（Ⅱ）连接A₁D交AD₁于点O，连结OE，如图（2）
则OD=OA₁，
又DE=CE，∴OE∥A₁C
∵A₁C?平面AED₁，OE?平面AED₁，
∴A₁C∥平面AED₁．

点评 本题考查线面角的求法，考查线面平行的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．