Question

设f（x）是定义在[-1，1]上的函数，且对任意a，b∈[-1，1]，当a≠b时，都有

f(a)-f(b)

a-b

＞0；
（Ⅰ）当a＞b时，比较f（a）与f（b）的大小；
（Ⅱ）解不等式f（x-

1

2

）＜f（2x-

1

4

）；
（III）设P={x|y=f（x-c）}，Q={x|y=f（x-c²）}且P∩Q=∅，求c的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）对任意a，b∈[-1，1]，都有

f(a)-f(b)

a-b

＞0，即可知f（x）单调递增，由此即可得出结论．
（Ⅱ）本题为抽象不等式的求解，要利用函数单调性转化为x-

1

2

与2x-

1

4

的不等式进行求解，但要考虑定义域．
（III）先求出P，Q，由P∩Q=∅，借助数轴可得到关于c的不等式，解出即可．

解答：解：（Ⅰ）由f（x）是定义在[-1，1]上的函数，且对任意a，b∈[-1，1]，当a≠b时，都有

f(a)-f(b)

a-b

＞0
可得：f（x）在[-1，1]上为单调增函数，
因为a＞b，所以，f（a）＞f（b）
（Ⅱ）由题意及（Ⅰ）得：

-1≤x- 1 2 ≤1 -1≤2x- 1 4 ≤1 x- 1 2 ＜2x- 1 4

，解得-

1

4

＜x≤

5

8

，
所以不等式f（x-

1

2

）＜f（2x-

1

4

）的解集为{x|-

1

4

＜x≤

5

8

}．
（III）由题意得：P={x|-1≤x-c≤1}，Q={x|-1≤x-c²≤1}，
即P={x|c-1≤x≤c+1}，Q={x|c²-1≤x≤c²+1}，
又因为P∩Q=∅，所以c+1＜c²-1或c²+1＜c-1，∴c＞2或c＜-1．
所以c的取值范围是{x|c＞2或c＜-1}．

点评：本题主要考查了函数单调性的性质，对于抽象不等式的求解，主要利用其单调性去掉符号“f”，转化为具体不等式求解，需要考虑函数定义域．