Question

2002年8月，在北京召开的国际数学家大会会标如图所示，它是由4个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，若直角三角形中较小的锐角为θ，大正方形的面积是1，小正方形的面积是

1

25

，则sin²θ-cos²θ的值等于

 

．

Answer 1

分析：根据题意可知每个直角三角形的长直角边为cosθ，短直角边为sinθ，小正方形的边长为cosθ-sinθ，先利用小正方形的面积求得∴（cosθ-sinθ）²的值，根据θ为直角三角形中较小的锐角，判断出cosθ＞sinθ  求得cosθ-sinθ的值，进而求得2cosθsinθ利用配方法求得（cosθ+sinθ）²的进而求得cosθ+sinθ，利用平方差公式把sin²θ-cos²θ展开后，把cosθ+sinθ和cosθ-sinθ的值代入即可求得答案．

解答：解：依题意可知拼图中的每个直角三角形的长直角边为cosθ，短直角边为sinθ，小正方形的边长为cosθ-sinθ，
∵小正方形的面积是

1

25

∴（cosθ-sinθ）²=

1

25

又θ为直角三角形中较小的锐角，
∴cosθ＞sinθ       
∴cosθ-sinθ=

1

5

      
又∵（cosθ-sinθ）²=1-2sinθcosθ=

1

25

∴2cosθsinθ=

24

25

∴1+2sinθcosθ=

49

25

即（cosθ+sinθ）²=

49

25

∴cosθ+sinθ=

7

5

  
∴sin²θ-cos²θ=（cosθ+sinθ）（sinθ-cosθ）=-

7

25

故答案为-

7

25

．

点评：本题主要考查了三角函数的化简求值，同角三角函数的基本关系．考查了学生综合分析推理和基本的运算能力．