Question

16．已知O是△ABC内部一点，$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$+$\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow{0}$，$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$=6，∠BAC=60°，则△OBC的面积为（　　）

• A． 3$\sqrt{3}$
• B． 1
• C． $\sqrt{3}$
• D． 3

Answer 1

分析 由向量式可得O为△ABC的重心，△OBC的面积为△ABC的面积的$\frac{1}{3}$，由数量积的定义和三角形的面积公式可得△ABC的面积，可得答案．

解答 解：∵O是△ABC内部一点，$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$+$\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow{0}$，
∴O为△ABC的重心，∴△OBC的面积为△ABC的面积的$\frac{1}{3}$，
∵$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$=6，∴|$\overrightarrow{AB}$||$\overrightarrow{AC}$|cos∠BAC=6，
代入数据可得|$\overrightarrow{AB}$||$\overrightarrow{AC}$|=12，
∴△ABC的面积为$\frac{1}{2}$×|$\overrightarrow{AB}$||$\overrightarrow{AC}$|sin60°=3$\sqrt{3}$，
∴△OBC的面积为$\sqrt{3}$
故选：C

点评 本题考查平面向量的数量积，涉及三角形的面积公式，属基础题．