Question

7．已知x，y∈R⁺，且满足x+6y=xy，那么x+4y的最小值是10+4$\sqrt{6}$．

Answer 1

分析 利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出．

解答 解：∵x，y∈R⁺，且满足x+6y=xy，
∴$\frac{1}{y}$+$\frac{6}{x}$=1，
∴x+4y=（x+4y）（$\frac{1}{y}$+$\frac{6}{x}$）=6+4+$\frac{x}{y}$+$\frac{24y}{x}$≥10+2$\sqrt{\frac{x}{y}•\frac{24y}{x}}$=10+4$\sqrt{6}$，当且仅当$\frac{x}{y}$=$\frac{24y}{x}$，即x=6+2$\sqrt{6}$，y=1+$\frac{\sqrt{6}}{2}$取等号，
∴x+4y的最小值是10+4$\sqrt{6}$，
故答案为：10+4$\sqrt{6}$．

点评 本题考查了“乘1法”与基本不等式的性质，属于基础题．