Question

已知x，y满足

2x-y≥2 x+y≤2 y≥a(x-1)

，且z=x+y能取到最小值，则实数a的取值范围是（　　）

• A、a＜-1
• B、a≥2
• C、-1≤a≤0
• D、-1≤a＜2

Answer 1

分析：作出目标函数z=x+y对应的直线l，可得直线l越向下平移z的值越小．根据直线y=a（x-1）表示经过点A（1，0）且斜率为a的直线，得到不等式y≥a（x-1）表示的平面区域在直线y=a（x-1）的上方．因此作出题中不等式组表示的平面区域，可得z=x+y在点A（1，0）处取得最小值1，观察斜率的变化即可得到实数a的取值范围．

解答：解：设直线l：z=x+y，可得的直线l的斜率为-1，
观察直线l在y轴上的截距变化，可得当直线l越向下平移，l在y轴上的截距越小，
相应地目标函数z也变小．
不等式组

2x-y≥2 x+y≤2

表示的平面区域，在直线2x-y=2的下方，
且在直线x+y=2的下方．
∵直线y=a（x-1）表示经过点A（1，0）且斜率为a的直线，
∴不等式y≥a（x-1）表示的平面区域，在直线y=a（x-1）的上方．
由此可得：当直线y=a（x-1）的斜率大于-1，而小于直线2x-y=2的斜率时，
不等式组

2x-y≥2 x+y≤2 y≥a(x-1)

表示的平面区域为如图的△ABC及其内部，
此时目标函数z=x+y在点A（1，0）处取得最小值为1，a的取值范围是-1＜a＜2；
又∵当a=-1时，题中不等式组表示的平面区域为斜率等于-1的两条平行线间、且在直线2x-y=2的下方的部分，
z=x+y也可在点A（1，0）处取得最小值1，
∴实数a的取值范围是-1≤a＜2．
故选：D

点评：本题给出含有参数的不等式组，在目标函数z=x+y能取到最小值的情况下求参数的取值范围．着重考查了二元一次不等式组表示的平面区域、直线的斜率和简单的线性规划等知识，属于中档题．