Question

10．已知$\overrightarrow{m}$=（$\sqrt{3}$sin2x+2，cosx），$\overrightarrow{n}$=（1，2cosx），设f（x）=$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$．
（1）求f（x）的最小正周期及最值；
（2）在△ABC中，若f（A）=4，b=1，S_△ABC=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，求a的值．

Answer 1

分析 （1）利用数量积的坐标运算和两角和的正弦公式及周期公式，正弦函数的值域即可得出；
（2）利用正弦函数的性质、三角形的面积计算公式及其余弦定理即可得出．

解答 解：（1）$\overrightarrow{m}$=（$\sqrt{3}$sin2x+2，cosx），$\overrightarrow{n}$=（1，2cosx），
则f（x）=$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$=2+$\sqrt{3}$sin2x+2cos²x
=3+$\sqrt{3}$sin2x+cos2x
=3+2（$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x+$\frac{1}{2}$cos2x）
=3+2sin（2x+$\frac{π}{6}$）
∴T=$\frac{2π}{2}$=π，
当2x+$\frac{π}{6}$=2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，即x=kπ+$\frac{π}{6}$，k∈Z时，f（x）取得最大值3+2=5；
当2x+$\frac{π}{6}$=2kπ-$\frac{π}{2}$，k∈Z，即x=kπ-$\frac{π}{3}$，k∈Z时，f（x）取得最小值3-2=1；
（2）由f（A）=4得，3+2sin（2A+$\frac{π}{6}$）=4，
∴sin（2A+$\frac{π}{6}$）=$\frac{1}{2}$，
又∵A为△ABC的内角，
∴$\frac{π}{6}$＜2A+$\frac{π}{6}$＜$\frac{13π}{6}$，∴2A+$\frac{π}{6}$=$\frac{5π}{6}$，
解得A=$\frac{π}{3}$．
∵$\frac{1}{2}$bcsin$\frac{π}{3}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，b=1，
∴$\frac{1}{2}$c•$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，解得c=2．
由余弦定理可得a²=b²+c²-2bccosA=4+1-2×1×2×$\frac{1}{2}$=3．
∴a=$\sqrt{3}$．

点评 熟练掌握数量积的坐标运算和两角和的正弦公式及周期公式、三角函数的性质、三角形的面积计算公式及其余弦定理等是解题的关键．