Question

19．已知方程x²+（m-3）x+m=0，在下列条件下，求m得范围：
（1）两个正根；
（2）两个负根；
（3）两个根都小于1；
（4）两个根都大于$\frac{1}{2}$；
（5）一个根大于1，一个根小于1；
（6）两个根都在（0，2）内；
（7）两个根有且仅有一个在（0，2）内；
（8）一个根在（-2，0）内，另一个根在（1，3）内；
（9）一个正根，一个负根且正根绝对值较大；
（10）一个根小于2，一个根大于4；
（11）一个根在（-2，0）内，另一个根在（0，4）内．

Answer 1

分析 由条件利用二次函数的性质求得各种情况下m的范围．

解答 解：对于方程x²+（m-3）x+m=0，令f（x）=x²+（m-3）x+m，
（1）方程有两个正根，等价于△=（m-3）²-4m=（m-1）（m-9）≥0，且$\left\{\begin{array}{l}{3-m＞0}\\{m＞0}\end{array}\right.$，求得0＜m＜3；
（2）方程有两个负根等价于△=（m-3）²-4m=（m-1）（m-9）≥0且$\left\{\begin{array}{l}{3-m＜0}\\{m＞0}\end{array}\right.$，求得m＞3；
（3）方程两个根都小于1等价于$\left\{\begin{array}{l}{△{=（m-3）}^{2}-4m≥0}\\{\frac{3-m}{2}＜1}\\{f（1）=2m-2＞0}\end{array}\right.$，求得m≥9；
（4）方程两个根都大于$\frac{1}{2}$，等价于$\left\{\begin{array}{l}{△{=（m-3）}^{2}-4m≥0}\\{\frac{3-m}{2}＜\frac{1}{2}}\\{f（\frac{1}{2}）=\frac{3m}{2}-\frac{5}{4}＞0}\end{array}\right.$，求得m≥9；
（5）方程一个根大于1，一个根小于1等价于f（1）=2m-2＜0，求得 m＜1；
（6）方程两个根都在（0，2）内，等价于$\left\{\begin{array}{l}{△{=（m-3）}^{2}-4m≥0}\\{0＜\frac{3-m}{2}＜2}\\{f（0）=m＞0}\\{f（2）=3m-2＞0}\end{array}\right.$，求得 $\frac{2}{3}$＜m≤1；
（7）方程两个根有且仅有一个在（0，2）内，等价于f（0）•f（2）=m（3m-2）＜0，求得 0＜m＜$\frac{2}{3}$；
（8）方程一个根在（-2，0）内，另一个根在（1，3）内，等价于$\left\{\begin{array}{l}{f（-2）=10-m＞0}\\{f（0）=m＜0}\\{f（1）=2m-2＜0}\\{f（3）=4m＞0}\end{array}\right.$，求得m无解；
（9）方程一个正根，一个负根且正根绝对值较大，等价于$\left\{\begin{array}{l}{3-m＞0}\\{m＜0}\end{array}\right.$，求得m＜0；
（10）方程一个根小于2，一个根大于4，等价于$\left\{\begin{array}{l}{f（2）=3m-2＜0}\\{f（4）=5m+4＜0}\end{array}\right.$，求得m＜-$\frac{4}{5}$；
（11）方程一个根在（-2，0）内，另一个根在（0，4）内，等价于$\left\{\begin{array}{l}{f（-2）=10-m＞0}\\{f（0）=m＜0}\\{f（4）=5m+4＞0}\end{array}\right.$，求得-$\frac{4}{5}$＜m＜0．

点评 本题主要考查一元二次方程根的分布与系数的关系，二次函数的性质，体现了转化的数学思想，属于中档题．