Question

如右图，在直角梯形ABCD中，∠B=90°，DC∥AB，BC=CD=AB=2，G为线段AB的中点，将△ADG沿GD折起，使平面ADG⊥平面BCDG，得到几何体A-BCDG．
（1）若E，F分别为线段AC，AD的中点，求证：EF∥平面ABG；
（2）求证：AG⊥平面BCDG；
（3）求V_C-ABD的值

Answer 1

【答案】分析：（1）由题意，折叠前后CD，BG位置关系不改变得CD∥BG，由E，F分别为线段AC，AD的中点可得EF∥CD利用平行线的传递性
得EF∥BG即可得EF∥平面ABC
（2）将△ADG沿GD折起后，AG，GD位置关系不改变即得AG⊥GD，然后由平面ADG⊥平面BCDG，平面ADG∩平面BCDG=GD，
AG?面AGD 得AG⊥平面BCDG
（3）由（2）得AG⊥平面BCDG，即A到平面BCDG的距离AG=2，利用等体积法可所求几何体的体积．
解答：（1）证明：依题意，折叠前后CD，BG位置关系不改变，∴CD∥BG
∵E，F分别为线段AC，AD的中点，∴在△ACD中，EF∥CD∴EF∥BG
∵EF?平面ABC，BG?面ABC，∴EF∥平面ABC
（2）证明：将△ADG沿GD折起后，AG，GD位置关系不改变，∴AG⊥GD
∵平面ADG⊥平面BCDG，平面ADG∩平面BCDG=GD，AG?面AGD∴AG⊥平面BCDG
（3）解：由已知得BC=CD=AG=2  又由（2）得AG⊥平面BCDG，即A到平面BCDG的距离AG=2
∴V_C-ABC=V_A-BCD===．
点评：本小题主要考查空间线面关系、几何体的体积等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力，是个中档题．