【题目】如图,在直角坐标中,设椭圆
:
的左右两个焦点分别为
,
,过右焦点
且与
轴垂直的直线
与椭圆
相交,其中一个交点为
.
(1)求椭圆的方程;
(2)已知,
经过点
且斜率为
,直线
与椭圆
有两个不同的
和
交点,请问是否存在常数
,使得向量
与
共线?如果存在,求出
的值;如果不存在,请说明理由.
【答案】(1)椭圆C的方程为;(2)不存在常数
,使得向量
与
共线,理由见解析。
【解析】
试题分析:
(1)由题意结合椭圆的定义有:,在
中应用勾股定理可得
,结合
可得
,则椭圆的方程为
.
(2)当直线的斜率不存在时,不满足题意;
当直线斜率存在时:设直线的方程为
,与椭圆方程联立可得
,由判别式大于零可得
.设
,由韦达定理可得
,
,而
,则原问题等价于
.联立方程可得
.而
,故不存在常数
,使得向量
与
共线.
试题解析:
(1)由椭圆定义可知.
由题意,
.
又由△
可知
,
,
,
又,得
.
椭圆
的方程为
.
(2)当直线的斜率不存在时,不满足题意;
直线斜率存在时,设直线的方程为
,
代入椭圆方程,得.
整理,得①
因为直线与椭圆
有两个不同的交点
和
等价于
,
解得.
设,则
=
,
由①得②
又③
因为,所以
.
所以与
共线等价于
.
将②③代入上式,解得.
因为
所以不存在常数,使得向量
与
共线.
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【题目】已知数列{an}中, ,若利用下面程序框图计算该数列的第2016项,则判断框内的条件是( )
A.n≤2014
B.n≤2016
C.n≤2015
D.n≤2017
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【题目】已知函数f(x)满足f(x)=f′(1)ex﹣1﹣f(0)x+ x2;
(1)求f(x)的解析式及单调区间;
(2)若 ,求(a+1)b的最大值.
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【题目】设数列{an}的前n项和为Sn , 满足2Sn=an+1﹣2n+1+1,n∈N* , 且a1 , a2+5,a3成等差数列.
(1)求a1的值;
(2)求数列{an}的通项公式;
(3)证明:对一切正整数n,有 .
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【题目】受轿车在保修期内维修费等因素的影响,企业产生每辆轿车的利润与该轿车首次出现故障的时间有关,某轿车制造厂生产甲、乙两种品牌轿车,保修期均为2年,现从该厂已售出的两种品牌轿车中随机抽取50辆,统计数据如下:
品牌 | 甲 | 乙 | |||
首次出现故障时间x(年) | 0<x<1 | 1<x≤2 | x>2 | 0<x≤2 | x>2 |
轿车数量(辆) | 2 | 3 | 45 | 5 | 45 |
每辆利润(万元) | 1 | 2 | 3 | 1.8 | 2.9 |
将频率视为概率,解答下列问题:
(Ⅰ)从该厂生产的甲品牌轿车中随机抽取一辆,求首次出现故障发生在保修期内的概率;
(Ⅱ)若该厂生产的轿车均能售出,记住生产一辆甲品牌轿车的利润为X1 , 生产一辆乙品牌轿车的利润为X2 , 分别求X1 , X2的分布列;
(Ⅲ)该厂预计今后这两种品牌轿车销量相当,由于资金限制,只能生产其中一种品牌轿车,若从经济效益的角度考虑,你认为应该产生哪种品牌的轿车?说明理由.
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【题目】在空间中,设m,n为两条不同直线,α,β为两个不同平面,则下列命题正确的是( )
A. 若m∥α且α∥β,则m∥β
B. 若α⊥β,mα,nβ,则m⊥n
C. 若m⊥α且α∥β,则m⊥β
D. 若m不垂直于α,且nα,则m必不垂直于n
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【题目】已知甲、乙两车间的月产值在2017年1月份相同,甲车间以后每个月比前一个月增加相同的产值,乙车间以后每个月比前一个月增加产值的百分比相同.到2017年7月份发现两车间的月产值又相同,比较甲、乙两个车间2017年4月份月产值的大小,则( )
A. 甲车间大于乙车间 B. 甲车间等于乙车间
C. 甲车间小于乙车间 D. 不确定
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【题目】如图,已知正三棱锥P﹣ABC的侧面是直角三角形,PA=6,顶点P在平面ABC内的正投影为点D,D在平面PAB内的正投影为点E,连接PE并延长交AB于点G.
(1)证明:G是AB的中点;
(2)在图中作出点E在平面PAC内的正投影F(说明作法及理由),并求四面体PDEF的体积.
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【题目】甲厂以x千克/小时的速度运输生产某种产品(生产条件要求1≤x≤10),每小时可获得利润是100(5x+1﹣ )元.
(1)写出生产该产品t(t≥0)小时可获得利润的表达式;
(2)要使生产该产品2 小时获得的利润不低于3000元,求x的取值范围.
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