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设函数f(x)=(x-1)2+blnx,其中b为常数.
(1)当b>数学公式时,判断函数f(x)在定义域上的单调性;
(2)当b≤0时,求f(x)的极值点并判断是极大值还是极小值;
(3)求证对任意不小于3的正整数n,不等式数学公式<ln(n+1)-lnn<数学公式都成立.

(1)解:由题意知,f(x)的定义域为(0,+∞),f′(x)=
∴当b>时,f'(x)>0,函数f(x)在定义域(0,+∞)上单调递增;
(2)解:当b≤0时,f′(x)=0有两个不同解,
≤0,,∴舍去x1
此时 f'(x),f(x)随x在在定义域上的变化情况如下表:
x(0,x1x2(x2,+∞)
f′(x)-0+
f(x)极小值
由此表可知:b≤0时,f(x)有惟一极小值点
(3)证明:由(2)可知当b=-1时,函数f(x)=(x-1)2-lnx,此时f(x)有惟一极小值点:x=
且x∈(0,)时,f'(x)<0,f(x)在(0,)为减函数.
∵当n≥3时,0<1<1+
∴恒有f(1)>f(1+),即恒有0>-ln(1+)=-[ln(n+1)-lnn].
∴当n≥3时,恒有ln(n+1)-lnn>
令函数h(x)=(x-1)-lnx(x>0)则h′(x)=
∴x>1时,h′(x)>0,又h(x)在x=1处连续,
∴x∈[1,+∞)时,h(x)为增函数
∵n≥3时,1<1+,∴h(1+)>h(1),即
∴ln(n+1)-lnn=ln(1+)<
综上,对任意不小于3的正整数n,不等式<ln(n+1)-lnn<都成立.
分析:(1)先确定f(x)的定义域,求出f(x)的导函数,进而导函数大于0,可得函数在定义域内单调递增;
(2)令f(x)的导函数等于0,求出此时符合定义域的解,然后利用这个解把(0,+∞)分成两段,讨论导函数的正负得到函数f(x)的增减性,根据f(x)的增减性即可得到函数的唯一极小值;
(3)确定f(x)在(0,)为减函数,根据当n≥3时,0<1<1+,可得当n≥3时,恒有ln(n+1)-lnn>;令函数h(x)=(x-1)-lnx(x>0),则x∈[1,+∞)时,h(x)为增函数,由此可知结论成立.
点评:本题考查学生会利用导函数的正负判断函数的单调性,并根据函数的单调性得到函数的极值,掌握导数在最值问题中的应用,是一道综合题,有一定的难度.
练习册系列答案
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设函数f(x)=a2x2(a>0),g(x)=blnx.
(1)若函数y=f(x)图象上的点到直线x-y-3=0距离的最小值为
2
,求a的值;
(2)关于x的不等式(x-1)2>f(x)的解集中的整数恰有3个,求实数a的取值范围;
(3)对于函数f(x)与g(x)定义域上的任意实数x,若存在常数k,m,使得f(x)≥kx+m和g(x)≤kx+m都成立,则称直线y=kx+m为函数f(x)与g(x)的“分界线”.设a=
2
2
,b=e,试探究f(x)与g(x)是否存在“分界线”?若存在,求出“分界线”的方程;若不存在,请说明理由.

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f(-
3
4
) <f(
15
2
)

②当x∈[-1,0]时f(x)=x3+4x+3;
③f(x)(x≥0)的图象与x轴的交点的横坐标由小到大构成一个无穷等差数列;
④关于x的方程f(x)=|x|在x∈[-3,4]上有7个不同的根.
其中真命题的个数为(  )

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(1)若函数y=f(x)图象上的点到直线x-y-3=0距离的最小值为2
2
,求a的值;
(2)关于x的不等式(x-1)2>f(x)的解集中的整数恰有3个,求实数a的取值范围;
(3)对于函数f(x)与g(x)定义域上的任意实数x,若存在常数k,m,使得f(x)≥kx+m和g(x)≤kx+m都成立,则称直线y=kx+m为函数f(x)与g(x)的“分界线”.设a=
2
2
,b=e,试探究f(x)与g(x)是否存在“分界线”?若存在,求出“分界线”的方程;若不存在,请说明理由.

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(1)求f(x)的极值;
(2)设0<a≤1,记f(x)在(0,a]上的最大值为F(a),求函数的最小值;
(3)设函数g(x)=lnx-2x2+4x+t(t为常数),若使g(x)≤x+m≤f(x)在(0,+∞)上恒成立的实数m有且只有一个,求实数m和t的值.

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