Question

已知函数f（x）=|x²-1|+x²+kx．
（1）若k=2，求函数f（x）的零点；
（2）若函数f（x）在区间（0，2）上有两个不同的零点，求k的取值范围．

Answer 1

分析：（1）分类讨论，去掉绝对值，化简函数的解析式，求出函数的零点．
（2）把函数解析式化为分段函数的形式，在每一段上研究函数的零点情况，从而求出k的取值范围．

解答：解：（1）∵k=2，当x≥1或x≤-1时，2 x²+2x-1=0，解方程得x=

-1- 3

2

．
当-1＜x＜1时，2x+1=0，x=-

1

2

，所以函数f（x）的零点为

-1- 3

2

，-

1

2

．（3分）
（2）∵f(x)=

kx+1，x∈(0，1] 2x2+kx-1，x∈(1，2)

，（4分）
①两零点在（0，1]，（1，2）各一个：由于f（0）=1＞0，
∴

f(1)＜0 f(2)＞0

?-

7

2

＜k＜-1．（6分）
②两零点都在（1，2）上时，显然不符合根与系数的关系 x₁x₂=-

1

2

＜0．
综上，k的取值范围是：-

7

2

＜k＜-1．（8分）

点评：本题考查函数零点的求法，以及函数零点存在的条件，体现了分类讨论的数学思想，属于基础题．