Question

（本小题满分12分）已知圆以为圆心且经过原点O．
(1) 若直线与圆交于点，若，求圆的方程；
(2) 在(1)的条件下，已知点的坐标为，设分别是直线和圆上的动点，求的最小值及此时点的坐标。

Answer 1

（1）圆方程为 ．(2) ．

试题分析：（I）利用圆的标准方程写出圆的方程，根据线段的中垂线的性质判断出C，H，O三点共线，利用两点连线的斜率公式求出直线OC的斜率，列出关于t的方程，求出t的值．通过圆心到直线的距离与圆半径的大小的比较，判断出直线与圆的关系是否相交．
（II）求出点B关于直线x+y+2=0的对称点，将已知问题转化为对称点到圆上的最小值问题，根据圆的几何条件，圆外的点到圆上的点的最小值等于该点到圆心的距离减去半径．
解：由题知，圆方程为，
化简得                          …1分
（1），则原点在的中垂线上，设的中点为，则．三点共线，则直线的斜率或，则圆心或，         …4分
所以圆方程为或，          …5分
由于当圆方程为时，直线到圆心的距离，不满足直线和圆相交，故舍去．
圆方程为 ．                             …6分
(2)点关于直线的对称点为，           …7分
则，又到圆上点的最短距离为，
所以的最小值为，                                …10分
直线的方程为，则直线与直线的
交点的坐标为．               …12分
点评：解决该试题的关键是求圆的方程一般利用的方法是待定系数法；解决直线与圆的有关的问题常利用圆的一些几何意义：常需要解圆心距、弦长的一半、圆的半径构成的直角三角形；圆外的点到圆上的最值常求出点到圆心的距离加上或减去圆的半径