Question

已知三个向量

m

=(a，cos

A

2

)，

n

=(b，cos

B

2

)，

p

=(c，cos

C

2

)共线，其中a、b、c、A、B、C分别是△ABC的三条边及相对三个角，则△ABC的形状是（　　）

• A、等腰三角形
• B、等边三角形
• C、直角三角形
• D、等腰直角三角形

Answer 1

分析：根据向量

m

、

n

共线得acos

B

2

=bcos

A

2

，结合正弦定理与二倍角的正弦公式化简，可得sin

A

2

=sin

B

2

，从而得到A=B．同理由

n

、

p

共线算出B=C，从而得到A=B=C，所以△ABC是等边三角形．

解答：解：∵

m

=(a，cos

A

2

)与

n

=(b，cos

B

2

)共线，∴acos

B

2

=bcos

A

2

，
由正弦定理得sinAcos

B

2

=sinBcos

A

2

，
∵sinA=2sin

A

2

cos

A

2

，sinB=2sin

B

2

cos

B

2

，
∴2sin

A

2

cos

A

2

cos

B

2

=2sin

B

2

cos

B

2

cos

A

2

，
化简得sin

A

2

=sin

B

2

．
又∵0＜

A

2

＜

π

2

，0＜

B

2

＜

π

2

，∴

A

2

=

B

2

，可得A=B．
同理，由

n

=(b，cos

B

2

)与

p

=(c，cos

C

2

)共线得到B=C，
∴△ABC中，A=B=C，可得△ABC是等边三角形．
故选：B

点评：本题给出三个向量两两共线，由此判定三角形的形状．着重考查了二倍角的三角函数公式、正弦定理和三角形形状的判定等知识，属于中档题．