Question

设函数f（x）=（ax-2）e^x，a∈R，（e为自然对数的底数）．
（Ⅰ）若x=1是函数f（x）的一个极值点，求a的值；
（Ⅱ）讨论函数f（x）的单调性；
（Ⅲ）若a=1，t₁，t₂∈[0，1]时，证明：f（t₁）-f（t₂）≤e-2．

Answer 1

分析：（I）先求出函数f（x）的导函数，然后根据在极值点处的导数等于0，建立等式关系，求出a即可；
（II）分别讨论a与0的大小，根据导函数的符号进行判断函数f（x）的单调性，使f'（x）＞0成立的是单调增区间，使f'（x）＜0成立的是单调减区间；
（III）a=1，当x∈[0，1]时，f'（x）=（x-1）e^x≤0，则f（x）单调减函数，从而f（t₁）-f（t₂）≤f_max（x）-f_min（x）=f（0）-f（1）=e-2，得到结论．

解答：解：（Ⅰ）由已知f'（x）=（ax+a-2）e^x，f'（1）=0，∴a=1．
（Ⅱ）①当a=0时，f'（x）＜0，∴f（x）在R上是减函数．
②当a＞0时，x＞

2

a

-1时，f'（x）＞0；x＜

2

a

-1时，f'（x）＜0，
∴f（x）的单调增、减区间分别是(

2

a

-1，+∞)，(-∞，

2

a

-1)．
③当a＜0时，x＞

2

a

-1时，f'（x）＜0；x＜

2

a

-1时，f'（x）＞0，
∴f（x）的单调减、增区间分别是(

2

a

-1，+∞)，(-∞，

2

a

-1)．
（Ⅲ）∵a=1，当x∈[0，1]时，f'（x）=（x-1）e^x≤0，
∴f（x）单调减函数，
∴f（t₁）-f（t₂）≤f_max（x）-f_min（x）=f（0）-f（1）=e-2．

点评：本题综合考查函数的极值以及利用导数研究函数的单调性，同时考查函数的最值的求解，是一道综合题．