Question

已知数列{a_n}满足：a₁=1，a_na_n+1=2ⁿ（n∈N^*）．
（1）证明：对任意正整数n，

an+2

an

=2；并求数列{a_n}的通项公式；
（2）设数列{a_n}的前n项和为S_n，若对任意正整数n，有3（1-λa_2n）≤a_2n•S_2n，求实数λ的最小值．

Answer 1

分析：（1）根据a_na_n+1=2ⁿ（n∈N^*）．再写一式，两式相除可证对任意正整数n，

an+2

an

=2；从而可知数列的偶数项、奇数项分别成等比数列，故可用分段函数形式表示数列{a_n}的通项公式；
（2）由题意可得?k∈N^*，a_2k-1+a_2k=3×2^k-1，从而可表示3（1-λa_2n）≤a_2n•S_2n，利用分离参数法，借助于函数的最值，可求参数的范围．

解答：解：（1）由?n∈N^*，a_na_n+1=2ⁿ，a_n+1a_n+2=2ⁿ⁺¹，知?n∈N*，

an+2

an

=2．…（3分）
故数列{a_2k-1}，{a_2k}都是公比为2的等比数列，…（4分）∵a₁=1，a₁a₂=2，∴a₂=2．…（5分）
知：?k∈N^*，a_2k-1=a₁×2^k-1=2^k-1，a_2k=a₂×2^k-1=2^k．…（6分）
所以数列{a_n}的通项公式为an=

2k-1，n=2k-1 2k，n=2k

，k∈N*．…（7分）
或an=

( 2 )n-1，n为正偶数 ( 2 )n， n为正奇数

  
（2）?k∈N^*，a_2k-1+a_2k=3×2^k-1，…（8分）
则?n∈N*，S2n=

n

k=1

(a2k-1+a2k)=

n

k=1

(3×2k-1)=3(2n-1)．…（10分）?n∈N^*，3（1-λa_2n）≤a_2n•S_2n，等价于?n∈N^*，λ≥

1

2n

-2n+1…（11分）
设f(n)=

1

2n

-2n+1，则f(n+1)-f(n)=-2n-

1

2n+1

＜0，
故f(n)max=f(1)=-

1

2

，λ≥-

1

2

．…（13分）
所以实数λ的最小值为-

1

2

．…（14分）

点评：本题的考点是数列与不等式的综合，主要考查等比数列的概念，考查分离参数法解决恒成立问题，关键是求出数列的通项．