Question

【题目】已知函数f（x）=m（sinx+cosx）﹣4sinxcosx，x∈[0， ]，m∈R．
（1）设t=sinx+cosx，x∈[0， ]，将f（x）表示为关于t的函数关系式g（t），并求出t的取值范围；
（2）若关于x的不等式f（x）≥0对所有的x∈[0， ]恒成立，求实数m的取值范围；
（3）若关于x的方程f（x）﹣2m+4=0在[0， ]上有实数根，求实数m的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：因为t=sinx+cosx= ，x∈[0， ]，所以t∈[1， ]，sinxcosx= ．

所以g（t）=mt﹣4 =﹣2t2+mt+2．

（2）解：因为关于x的不等式f（x）≥0对所有的x∈[0， ]恒成立，

据（1）可知g（t）=﹣2t2+mt+2≥0对所有的t∈[1， ]恒成立，

所以 ，得m≥ ．所以实数m的取值范围是[ ，+∞）．

（3）解：因为关于x的方程f（x）﹣2m+4=0在[0， ]上有实数解，

据（1）可知关于t的方程﹣2t2+mt+2﹣2m+4=0在t∈[1， ]上有实数解，

即关于t的方程2t2﹣mt+2m﹣6=0在t∈[1， ]上有实数解，

所以△=m2﹣16（m﹣3）≥0，即m≤4或m≥12．

令h（t）=2t2﹣mt+2m﹣6，开口向上，对称轴t= ，

①当m≥12时，对称轴t≥3，函数h（t）在t∈[1， ]上单调递减，

故 ，解得m不存在．

②当m≤4时，对称轴t≤1，函数h（t）在t∈[1， ]上单调递增，

故 ，解得2+ ≤m≤4．

综上所述，实数m的取值范围是[2+ ，4]．

【解析】（1）利用辅助角公式，结合同角三角函数关系，即可得出结论；（2）据（1）可知g（t）=﹣2t2+mt+2≥0对所有的t∈[1， ]恒成立，所以 ，即可求出实数m的取值范围；（3）据（1）可知关于t的方程﹣2t2+mt+2﹣2m+4=0在t∈[1， ]上有实数解，即关于t的方程2t2﹣mt+2m﹣6=0在t∈[1， ]上有实数解，分类讨论，求出实数m的取值范围．