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    【题目】已知椭圆的离心率为，且以原点为圆心，椭圆的焦距为直径的圆与直线相切（为常数）.

    （1）求椭圆的标准方程；

    （2）如图，若椭圆的左、右焦点分别为，过作直线与椭圆分别交于两点，求的取值范围.

    【答案】（1）（2）

    【解析】试题分析：（1）由椭圆离心率为，以原点为圆心，椭圆的焦距为直径与直线相切，列出方程组求出的值，由此能求出椭圆的方程；

    （2）当直线的斜率不存在时，推导出 ，当直线的斜率存在时，设直线的方程为，联立方程组，利用韦达定理、向量的知识，结合题意，即可求解的取值范围.

    试题解析：

    （1）由题意

    故椭圆.

    （2）①若直线斜率不存在，则可得轴，方程为，

    ，故.

    ②若直线斜率存在，设直线的方程为，

    由消去得，

    设，则.

    ，

    则

    代入韦达定理可得

    由可得，结合当不存在时的情况，得.

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